Ingedrukte bollen stapelen beter dan echte bollen
Gooi een hoop knikkers in een doos, schud er flink mee en de knikkers zullen zich zodanig stapelen dat ze maximaal 64% van de inhoud van de doos innemen. Deze waarde is de zogeheten pakkingsfractie voor de willekeurig dichtste stapeling van bollen. De waarde is al eeuwen bekend, maar waarom hij maximaal 0,64 is, weet niemand nog precies. FOM-onderzoeker Stephen Williams en hoogleraar Albert Philipse, beiden verbonden aan de Faculteit Scheikunde van de Universiteit Utrecht, hebben nu met behulp van computersimulaties ontdekt dat er een hogere waarde mogelijk is, van bijna 0,70. Daarvoor moeten de knikkers iets ingedrukt worden tot een soort korte capsules zoals we die van medicijnen kennen. Het stapelen van bollen en andersvormige deeltjes speelt overal in de natuur en de industrie waar korrelige materialen voorkomen. Misschien hebben Williams en Philipse dus een manier gevonden om dichter te stapelen, wat bijvoorbeeld voor katalysatordragers gunstig zou zijn. Over hun onderzoek publiceren ze binnenkort in het vakblad Physical Review E.
Hoeveel sinaasappels krijg je in een doos? Of anders gevraagd: wat is de meest efficiënte stapeling van sinaasappels, en bollen in het algemeen? Elke groenteboer weet dat je meer sinaasappels in een doos krijgt als je ze netjes in een regelmatig patroon opstapelt. Bij die ordening hoort een zogeheten pakkingsfractie van 0,7405. Dat betekent dat je de doos dan voor 74% van zijn inhoud met sinaasappels gevuld krijgt. Al in 1611 stelde Johannes Keppler dat je bollen niet efficiënter kunt stapelen dan met die fractie van 0,7405. Pas in 1998 wist de Amerikaan Thomas Hales dit ook echt wiskundig te bewijzen.
Meestal echter heeft de groenteboer geen tijd om de sinaasappels netjes een voor een te stapelen. Hij gooit ze in de doos, schudt die en klaar. Er ontstaat dan wat wetenschappers noemen de willekeurig dichtste pakking; die heeft een pakkingsfractie van 0,64. De pakkingsfractie van 0,64 is het maximaal haalbare voor willekeurig dichtste pakking van bollen. Waarom dit maximum die waarde heeft, is overigens nog altijd niet afdoende verklaard. De willekeurig dichtste stapeling van bollen werd in de 20ste eeuw door de Engelse wis- en natuurkundige J.D. Bernal ingevoerd als model voor vloeistoffen die bestaan uit harde bollen (deeltjes die elkaar in vloeistoffen alleen op korte afstand afstoten). De Bernal-pakking wordt tegenwoordig veel als model gebruikt voor amorfe materialen en structuurloze materialen (natuurkundigen noemen dat een glas) van bolvormige moleculen of colloïden. Dat het model algemene geldigheid heeft, komt doordat de willekeurig dichtste stapeling niet afhankelijk is van de grootte van de bollen; alleen de vorm telt. Tot nu toe zijn vooral willekeurige stapelingen van bollen onderzocht. Er is nog maar heel weinig bekend over de stapelingsdichtheid voor andere deeltjesvormen. Dat is merkwaardig omdat deeltjes in natuur en techniek meestal geen bolvorm hebben. Voorbeelden zijn pakkingen van rijstkorrels en andere plantenzaden, pinda's, aardappels, grind, cellulosevezels in papier, ongekookte spaghetti in de pan en de stokjes van het spel mikado.
Het zijn vooral die voorbeelden uit praktische toepassingen die Williams en Philipse tot hun onderzoek inspireerden. De vorm van een deeltje wordt gedefinieerd door de verhouding van de lengte tot de diameter, de zogeheten aspect ratio. De willekeurig dichtste stapeling blijkt alleen van de vorm af te hangen en voor elke vorm een unieke waarde te hebben. De Utrechtse onderzoekers hebben nu als eersten een simulatiemethode ontwikkeld die werkt voor alle deeltjes van aspectratio 0 (een bol) tot wel 160 (nog dunner en langer dan ongekookte spaghetti). Simulaties van bekende systemen laten een uitstekende overeenkomst met de werkelijkheid zien.
De simulatieresultaten tonen twee opmerkelijke trends. De pakkingsfractie van een willekeurige stapeling wordt kleiner als de staafjes dunner worden. De simulaties laten zelfs zien dat de pakkingsfractie voor alsmaar dunner wordende staafjes geleidelijk naar nul gaat. Als echter de deeltjes juist steeds compacter worden en de bolvorm naderen, gebeurt er iets bijzonders. Tegen de verwachting in is niet de pakkingsfractie van bollen het maximum, maar wordt een waarde van bijna 0,70 bereikt voor deeltjes die net niet bolvormig zijn. De aspect ratio van die deeltjes is 0,4. Een kleine afwijking van de bolvorm kan de willekeurige stapeling dus flink verdichten, zonder dat daar ordening of kristallisatie van deeltjes voor nodig is.
De simulatieresultaten zijn ook van praktisch belang omdat ze bijvoorbeeld aangeven hoe men de pakkingsfractie in poeder van keramische deeltjes of in een bed van katalysatordragers zou kunnen maximaliseren.
Meer informatie bij prof.dr. A.P. Philipse, telefoon (030) 253 23 91.